La unificación de las matemáticas

A Robert Langlands, que creó una las ideas más originales de las matemáticas del siglo XX, se le ha concedido el premio Abel de 2018, tal y como se anunció en la Academia Noruega de Ciencias y Letras el 20 de marzo. El premio, que emula los Nobel, es uno de los mayores honores que se conceden en las matemáticas.

Langlands, que tiene 81 años, profesor emérito del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, es el progenitor del «programa de Langlands», que explora una conexión profunda entre dos pilares de las matemáticas modernas: la teoría de números, que estudia las relaciones aritméticas entre los números, y el análisis, que es una forma avanzada de cálculo. El nexo tienen consecuencias de largo alcance de las que los matemáticos se sirven para responder cuestiones planteadas hace ya siglos relativas a las propiedades de los números primos.

Langlands enunció por primera vez su visión del programa en 1967, cuando tenía treinta años, en una carta dirigida al célebre matemático André Weil. Empezaba la carta, de diecisiete páginas, con un rasgo de modestia hoy legendario: «Si desea leerla como una pura especulación, me sentiría agradecido», escribió. «Si no, estoy seguro de que tendrá una papelera al alcance de la mano».

Desde entonces, generaciones de matemáticos han adoptado y expandido su visión. El programa de Langlands abarca ahora tantos campos diferentes que a menudo, para referirse a él, se dice que es una «gran teoría unificada» de las matemáticas.

«Es revolucionario, creo, en lo que se refiere a la historia de las matemáticas», dice James Arthur, matemático de la Universidad de Toronto y antiguo alumno de Langlands.

Los matemáticos siempre han estado interesados en encontrar patrones en los números primos (los que son divisibles solo por uno y por sí mismos). Los primos son como los elementos atómicos de la teoría de números, las piezas fundamentales con las que se construye el estudio de la aritmética. Hay un número infinito de ellos, y parece que están dispersados al azar entre todos los números. Para encontrar patrones en los primos, como la frecuencia con que aparecen (que es el asunto de la famosa conjetura de Riemann), hay que relacionarlos con alguna otra cosa. Vistos como hay que verlos, los primos hacen las veces de un cifrado que se convierte en un bello mensaje cuando es leído con la clave correcta.

«Parecen accidentes aleatorios, pero, especialmente por medio del programa de Langlands, resulta que tienen una estructura complejísima que los relaciona con toda suerte de cosas», dice Arthur.

Una pregunta relativa a la estructura de los primos es la de que cuáles pueden ser expresados como la suma de dos cuadrados. Los primeros ejemplos son:

5, número primo igual a 2² + 1²,

13, que es igual a 3² + 2² ,

29, igual a 5² + 2².

En el siglo XVII, los teóricos de números descubrieron que todos los primos que se pueden expresar como una suma de dos cuadrados comparten otra propiedad: dejan un resto de 1 cuando se los divide por 4. Así se empezó a descubrir una estructura oculta en los primos. Luego, a finales del siglo XVIII, Carl Friedrich Gauss generalizó este sorprendente nexo al formular una ley de «reciprocidad» que ligaba ciertos primos (los que son la suma de dos cuadrados) con una característica identificatoria (que al dividirlos por 4 queda un resto de 1).

En su carta, Langlands propuso una vasta ampliación del tipo de ley de reciprocidad descubierto por Gauss. El trabajo de Gauss se aplicaba a las ecuaciones cuadráticas (aquellas cuyos exponentes no son mayores que 2). Langlands apuntó que los números primos codificados por ecuaciones de orden superior (como las ecuaciones cúbicas y cuárticas) debían de estar en una relación de reciprocidad con el muy alejado terreno matemático del análisis armónico, que deriva del cálculo y se usa con frecuencia para resolver problemas de física.

Por ejemplo, los científicos del siglo XIX se quedaron sorprendidos al descubrir que cuando miraban la luz de una estrella a través de un prisma no hallaban un espectro continuo de colores, sino que este se interrumpía aquí y allá por líneas negras, llamadas ahora líneas del espectro de absorción, donde la luz desaparece. Acabaron por comprender que la absorbían elementos presentes en las estrellas. Este descubrimiento proporcionó una sólida prueba de que las estrellas y nuestro planeta están hechos del mismo material.

Al mismo tiempo, las líneas espectrales se convirtieron en objetos de interés matemático. Las longitudes de onda perdidas daban una secuencia de números: las frecuencias a las que desaparecía la luz. Los matemáticos podían estudiar esos números por medio del análisis. O podían trabajar con ecuaciones de un tipo completamente nuevo, inspirados, quizá, por problemas de la física, pero que surgían puramente del análisis y de la geometría. Basándose en esas nuevas ecuaciones, podían estudiar una noción paralela de los espectros de absorción.

El programa de Langlands relaciona los valores de las ecuaciones polinómicas que son núeros primos con espectros de las ecuaciones diferenciales estudiadas en análisis y geometría. Dice que debería haber una relación de reciprocidad entre ambas cosas. Como resultado, se debería poder caracterizar qué números primos aparecen en situaciones determinadas sabiendo qué números aparecen en los espectros correspondientes.

Los dos conjuntos de números no se pueden comparar directamente, sin embargo. Tienen que ser traducidos por medio de diferentes tipos de objetos matemáticos. En particular, las representaciones de Galois, que se basan en los primos, deberían emparejarse con objetos llamados formas automórficas, que contienen los espectros relevantes.

Los matemáticos de hoy que trabajan en el programa de Langlands intentan demostrar esa relación y muchas otras conjeturas afines. Al mismo tiempo, usan conexiones del tipo de las de Langlands para resolver problemas que, si no, estarían fuera de su alcance. El resultado más célebre en este sentido es la demostración en 1995 por Andrew Wiles del último teorema de Fermat. La prueba de Wiles depende en parte, precisamente, de relaciones entre la teoría de números y el análisis del mismo tipo que las predichas por Langlands décadas antes.

El programa de Langlands se ha  expandido considerablemente con los años. Sin embargo, cuando se pone a un lado toda la compleja maquinaria que se ha creado para realizar la visión de Langlands se ve que tan enorme empresa sigue motivada por una de las preocupaciones matemáticas más básicas.

«Comprender las propiedades de los primos que ocurren en una ecuación viene a equivaler, básicamente, a una clasificación del mundo aritmético», dice Arthur.

Kevin Hartnett / Quanta Magazine

Artículo traducido y adaptado por Investigación Ciencia con permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión de la ciencia.

Más información en The Abel Prize.